Luentopäiväkirja kurssille MATA-174
Tämä sivu tulee sisältämään lyhyitä kommentteja siitä, mitä kullakin luennolla taikka viikolla on käyty.
Viikko 1
Epäoleellisia integraaleja.Luento 1/1
Käytännön asioita ja kurssin teemasta; epäoleellisen integraalin jälkeen valtaosa työstä tulee kohdistumaan luku- ja funktiosarjoihin. Määriteltiin epäoleellinen integraali yli rajoittamattoman välin ja todistettiin Lause 1.1.3 (jota kutsuin luennolla Lemmaksi) sekä Lemma 1.1.5. Käytiin läpi sekalaisia esimerkkejä, jatkossa tärkeä on Esimerkki 1.1.2:n b-kohta. Tämän esimerkin käyttäytymistä voi tutkia esimerkiksi tällä sovelmalla.Luento 2/1
Todistettiin Majorantti/Minoranttiperiaate (prujun lause 1.1.6), Osamäärätesti (lause 1.1.8) sekä käytiin läpi näihin liittyviä esimerkkiä. Määriteltiin epäoleellisen integraalin itseinen suppeneminen ja tutkittiin sen yhteyksiä tavaliseen suppenemiseen. Tässä kohtaa olemme käytännössä käyneet läpi prujua sivut 1-12.Luento 3/1
Siirryttiin rajoittamattomasta välistä rajoittamattomiin funktioihin; määriteltiin epäoleellinen integraali tilanteessa jossa funktio ei ole rajoitettu rajoitetulla välillä. Todettiin että Majorantti/minoranttiperiaate sekä osamäärätesti pätevät yhä tässä tilanteessa käytännössä samalla todistuksella. Käytiin osamääräperiaatten kohta (1) todistus taululla, sekä joitain esimerkkejä. Lisäksi määriteltiin yleinen epäoleellinen integraali tilanteessa missä sekä integrointiväli että funktio ovat rajoittamattomia. Olemme nyt käyneet läpi luentomonisteen ensimmäisen luvun.Viikko 2
Lukusarjoista.Luento 1/2
Aloitettiin lukusarjojen tutkiminen. Alkuun esimerkki Akilleksen juoksusta ja varoittava esimerkki "1-1+1-1+1-1+..." siitä, että intuitio ei aina toimi. (Katso myös Numberphilen video aiheeseen liittyen (englanniksi).) Määriteltiin lukusarja, todistettiin että geometrinen sarja suppenee ja että harmoninen sarja hajaantuu. Todistimme lyhyesti lauseet 2.2.1 sekä 2.2.3 ja kävimme läpi lauseen 2.2.5.Luento 2/2
Lukusarjojen tutkimista edelleen. Osoitettiin, että yliharmoninen sarja suppenee ja aliharmoninen sarja hajaantuu, eli käytiin läpi Esimerkki 2.2.7. Määriteltiin itseinen suppeneminen sekä todistettiin lause 2.2.10. Lisäksi todistettiin Minorantti/Majoranttiperiaate (Lause 2.3.2) ja käytiin läpi joitain esimerkkejä.Luento 3/2
Kävimme läpi osamäärätestin sekä integraalitestin ja tutkimme sekalaisia esimerkkejä. Materiaalin luku 2 on nyt käyty läpi, p.l. konkreettinen esimerkki integraaliperiaatteesta, joka käydään maanantain luennolla.Viikko 3
Lukusarjoista, osa 2.Luento 1/3
Käytiin läpi integraalitestiin liittyvä esimerkki 2.3.12, jonka jälkeen siirryttiin kahta sarjaa vertailevista testeistä pelkästään yksittäiseen sarjaan keskittyvään testiin. Todistimme suhdestestin (Lause 3.1.1), sen raja-arvomuodon, sekä juuritestin ja kävimme läpi näihin liittyviä esimerkkejä.Luento 2/3
Todistettiin 2^m-testi (Lause 3.1.13) ja huomattiin että jonoon 1/(n log n) liittyvä sarja hajaantuu. Siirryttiin summausjärjestyksen vaikutukseen todistamalla Leibnitzin testi (Lause 3.2.1) ja aloitettiin absoluttisten sarjojen summausjärjestykseen liittyvän lauseen todistaminen. (Lause 3.2.6.)Luento 3/3
Käytiin läpi uudestaan todistus sille, että itseisesti suppenevalle sarjalle uudelleenjärjestely ei vaikuta sarjan suppenemiseen tai -summaan. Käytiin läpi kahden sarjan tulon määrittelyä. Kurssimonisteen luku kolme on nyt käyty kokonaan läpi.Viikko 4
Funktiojonojen pisteittäinen ja tasainen suppeneminen.Viikolla käytiin läpi luku 5 luentomonisteesta. Ma- ja ti-luennot olivat pääryhmän kanssa, viimeisellä keskiviikon luennolla keskityttiin pitkälti erilaisiin esimerkkeihin.
Viikko 5
Luento 1/5
Käytiin loppuun lauseen 4.2.9 todistus. Todistettiin, että sekä jatkuvuus että Riemann-integroituvuus "säilyy tasaisessa suppenemisessa". (Lauseet 5.1.2 sekä 5.1.5.) Käytiin läpi muutama esimerkki jotka näyttävät ettei derivoituvuus säily edes tasaisessa suppenemisessa.Luento 2/5
Todistettiin Lause 5.1.8 jonka mukaan mikäli sekä jatkuvasti derivoituvien funktioiden jono, että sen derivaattajono suppenevat tasaisesti, niin funktiojonon rajafunktio on derivoituva ja sen derivaattafunktio on derivaattojen tasainen raja. Tämän jälkeen siirryimme funktiosarjoihin, joista annoimme määritelmän sekä muutaman esimerkin. Kävimme loppuun myös lpäi Lauseen 5.3.1 todistuksen. Tässä muutama graafi funktiosarjojen summista.Luento 3/5
Todistettiin Lause 5.3.4 sekä tutkittiin esimerkkiä 5.3.6, jonka tutkimista voi jatkaa tämän linkin avulla. Kerrattiin pisteittäisen sekä tasaisen suppenemisen määritelmää ja näytettiin että rajoittuneisuus säilyy tasaisessa suppenemisessa. Luentomonisteen kappale 5 on nyt käyty läpi.Viikko 6
Luento 1/6
Siirryttiin potenssisarjojen tutkimiseen, käytiin läpi esimerkkejä ja todistettiin Abelin lause. Määriteltiin lisäksi suppenemisväli.Luento 2/6
Tutkittiin potenssisarjojen tasaista suppenemista ja todistettiin että potenssisarjan määräämä funktio on aina jatkuva sekä integroituva.Luento 3/6
Käytiin läpi derivaattasarjat ja todistettiin että potenssisarja määrää suppenemisvälillään funktion, jolla on kaikkien kertalukujen derivaatat ja integraalit, jotka puolestaan ovat edelleen potenssisarjoja joilla on sama suppenemisväli kuin alkuperäisellä funktiolla. Todistettiin että funktiosarjat ovat yksikäsitteisiä. Luku 6 o nyt käyty läpi.Viikko 7
Vain kaksi luentoa Pääsiäisloman johdosta, jälkimmäinen luento pääaineryhmässä.
Luento 1/7
Kertausta pääsiäistä edeltävältä ajalta. Taylorin polynomin määritelmä sekä Taylorin lause. Interaktiivinen Taylorin polynomin havainnoillistaja Desmoksessa.Viikko 8
Luento 1/8
Käytiin läpi Taylorin polynomin jäännöstermin eri muotoiluja ja käytiin näihin liittyen läpi muutama esimerkki. Tämän jälkeen todistettiin Neperin luvun irrationaalisuus. Luku 7 on nyt käyty läpi.
Luento 2/8
Taylorin sarja, määritelmä ja olemassaolosta. Luentomoniste on nyt käyty läpi.
Viikko 9
Luento 1/9
Koontia kurssin asioista ja kontekstista. Todistettiin piin irrationaalisuus käymällä läpi Ivan Nivenin paperi.